Typy úloh
Řešení stacionárních úloh (statických, ustálených) převádí prostorová diskretizace na řešení systému algebraických rovnic elastostatika) nebo na (částečné) řešení zobecněného problému vlastních hodnot (vlastní tvary a frekvence, “bifurkační” vzpěrná stabilita). V závislosti na formulaci výchozího problému je systém algebraických rovnic lineární nebo nelineární.
Řešení tzv. kvazistatických úloh v jejichž popisu hrají členy obsahující druhé časové derivace vesměs jen zanedbatelné role, se prostorovou diskretizací převádí na řešení soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu. Nestacionární děje tohoto druhu představují klasické úlohy vedení tepla a tzv. kvazistatické problémy mechaniky poddajných těles - plasticita, creep, viskoplasticita.
Řešení nestacionárních dějů v jejichž popisu nelze vliv setrvačných účinků zanedbat (tzv. přechodové děje), se prostorovou diskretizací převádí na řešení soustavy diferenciálních rovnic druhého řádu.
Pro řešení dynamické odezvy (např. při seismických výpočtech) lze alternativně použít i metodu modální superposice. Prostředkem časové diskretizace, připadajícím v úvahu pouze u nestacionárních úloh, je liniový (1D) “prvek”. Časovou diskretizací se převádí řešení zmíněných diferenciálních rovnic na řešení řetězce (lineárních event. nelineárních) algebraických rovnic. Cílem výpočtových procedur je splnění pohybových rovnic v diskrétních okamžicích (nikoliv “spojitě” ve všech časech).
Pro kvazistatické děje je průběh každé časově proměnné veličiny v rozmezí časového kroku tL < t < tU aproximován lineární funkcí. Naznačená diskretizace je ekvivalentní jednokrokové metodě.
Pro obecné nestacionární děje je přijata v každém časovém kroku tL < t < tU lineární aproximace časového průběhu zrychlení. Z této aproximace vycházejí implicitní časové integrační algoritmy, z nichž nejpoužívanější patří do tzv. Newmarkovy rodiny. V PMD je používáno integrační schéma v původní Newmarkově formulaci.
Problémy silového styku různých objektů jsou řešitelné v rámci kontaktní úlohy; problémy tepelného styku různých objektů lze řešit modelováním přechodových odporů mezi nimi (tzv. teplotní kontaktní úlohy).
Všechny zmíněné úlohy lze řešit při respektování širokého spektra možností okrajových, vedlejších a počátečních podmínek. Z hlediska teorie variačních úloh lze tyto podmínky rozdělit do dvou kategorií na hlavní (essential, tzv. geometrické) a přirozené (natural, tzv. silové).
Fyzikální veličiny mohou být závislé na souřadnicích x, y, z, času t a teplotě T.
Metody řešení
Lineární elastostatické a termoelastostatické úlohy. Prostorová diskretizace vede na soustavu lineárních algebraických rovnic. Matice tuhosti jednotlivých prvků a vektory jejich distribuovaných (objemových, plošných a liniových) zatížení se stanovují v naprosté většině případů numerickou integrací. Na oblastech tvaru (křivočarého) čtyřúhelníka a (křivočarého) šestistěnu lze volit Gaussovu integraci, se dvěma (NG = 2), třemi (NG = 3) nebo čtyřmi (NG = 4) body v každém směru (default NG = 3 pro kvadratické a skořepinové prvky, NG = 2 pro lineární prvky). Na oblastech tvaru (křivočarého) trojúhelníka se používá sedmibodové integrační pravidlo; na (křivočarém) pětistěnu pravidlo s 7*NG integračními body a na (křivočarém) čtyřstěnu pravidlo s 15-ti integračními body. Pro nosníkové prvky (přímé, se dvěma uzly) se příslušné integrace provádějí analyticky. Výsledná soustava rovnic se řeší frontální variantou Gaussovy eliminace.
Výpočty stacionárních a nestacionárních teplotních polí. Pro stacionární problémy obdržíme po prostorové diskretizaci soustavu (obecně nelineárních) algebraických rovnic. Prostorová diskretizace slabé formulace nestacionárního problému vede na soustavu (obecně nelineárních) obyčejných diferenciálních rovnic. Časová diskretizace pak transformuje soustavu diferenciálních rovnic na sekvenci systémů (nelineárních) algebraických rovnic. Nestacionární úlohy se v PMD časově diskretizují obecnou jednokrokovou metodou. Předpokládá se tedy lineární průběh teploty v rámci časového kroku Δt. Obecnost metody tkví ve volitelnosti parametru Θ v mezích 0 < Θ < 1. Tím je v nabídce řešení zahrnuto několik typů jednokrokových metod, např.: Θ=0 - Eulerova dopředná (explicitní, podmíněně stabilní a linearizující soustavu rovnic), Θ=1 - Eulerova zpětná (plně implicitní, bezpodmínečně stabilní, obzvláště robustní), Θ=0,5 - Crank-Nicholsonova (implicitní, bezpodmínečně stabilní metoda kvadratické globální přesnosti, lichoběžníkové integrační pravidlo). Pro řešení nelineárních soustav algebraických rovnice se používá modifikovaná Newton-Raphsonova metoda. K urychlení její konvergence a zvýšení numerické stability je v PMD implementována lineární akcelerace (line search). Délky časových kroků lze volit v rámci vstupních dat nebo je lze stanovovat automaticky na základě odhadů lokální chyby. Soustavy lineárních algebraických rovnic se řeší frontální variantou Gaussovy eliminace.
Elastodynamické úlohy. Prostorové diskretizace zmíněných úloh vedou na zobecněný problém vlastních hodnot, případně na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu v čase. PMD podporuje řešení problému vlastních hodnot a výpočty stacionárních a nestacionárních dynamických dějů: Stacionární dynamika zahrnuje výpočty vlastních frekvencí a tvarů metodou (frontální) iterace podprostoru a výpočty ustálené odezvy silově anebo kinematicky buzených struktur. Nestacionární dynamické výpočty lze provádět volitelně buď metodou modální superpozice nebo přímou integrací (frontální) Newmarkovou metodou s možností proporcionálního tlumení. V rámci elastodynamických úloh byla vytvořena speciální podpora hlavních postupů pro stanovení ustálené odezvy seizmicky (kinematicky) buzených objektů, spočívající ve výpočtu maxima odezvy (obálka) metodou spekter odezvy s využitím SRSS (Square Root of Sum of Squares) a příbuzných algoritmů a ve stanovení časového průběhu seizmické odezvy přímou numerickou integrací Newmarkovou metodou ze zadaných akcelerogramů. PMD pracuje zásadně s konsistentními maticemi hmotnosti. Důvody spočívají zejména ve vyšší přesnosti tohoto postupu, numericky ověřené na řadě konkrétních úloh.
Termoplasticita a nelineární elasticita. Velmi široká a stále neuzavřená problematika je inspirativní v mnoha aspektech. Jedná se primárně o fyzikálně konsistentní formulace konstitutivních vztahů (potvrzení jejichž výstižnosti a oboru platnosti se neobejde bez náročných experimentů), s jejichž rozmanitostí a složitostmi však rostou i nároky na efektivnost a robustnost navazujících numerických zpracování. Problematiku lze shrnout do tří témat:termoplastický kinematicko/isotropní model pro mechaniku kovů, frontální nelineární řešiče, modifikovaná Newton-Raphsonova metoda, integrace elasticko-plastických konstitutivních vztahů (systém diferenciálních rovnic s algebraickou vazbovou podmínkou), metody typu prediktor-korektor. Důraz na kvalitní a přitom úsporné konstrukce spolu s hlubšími znalostmi o materiálu jistě přispěje k podstatnému zvýšení frekventovanosti těchto úloh v praxi.
Viskoelasticita (creep, relaxace). Problematika se překrývá s předcházejícím odstavcem. Heslovitě řečeno se jedná o model isotropního zpevnění a exponenciální model s poškozením (time, strain hardening and damage softening) a s automaticky řízeným integračním krokem. Kombinace s plasticitou je možná. V PMD je v současné době široce využíván model procesu tečení podle V.Bíny (SVÚM Praha 9 - Běchovice). Programů se využívá zejména při analýzách elektrárenských parovodů. Sledování parovodů za provozu umožňuje porovnání naměřených a vypočtených creepových deformací. Dobrý souhlas mezi oběma nezávisle stanovenými veličinami vedl ke zpracování originální metodiky hodnocení
Klasické stabilitní úlohy (Eulerovská “bifurkační” stabilita). Východiskem je tangenciální linearizace úloh s velkými posuvy a přetvořeními, při nichž volíme za energeticky konjugované míry přetvoření a napětí tenzory Green-Lagrangeův (G-L) a druhý Piola-Kirchhoffův (2PK). Jsou-li složky gradientu posuvů až do ztráty stability malé, zůstávají tenzory G-L a 2PK v průběžných konfiguracích dobře aproximovatelné tenzorem malých přetvoření a Cauchyovým tenzorem napětí. Potom lze tangenciální matici vystihnout toliko součtem matice počáteční (výchozí) tuhosti a geometrické matice (někdy nazývané maticí prvotních napětí), tzn. že netřeba přihlížet k příspěvku tzv. matice velkých posuvů. Úloha se pak až do okamžiku kolapsu chová lineárně a její řešení vede na zobecněný problém vlastních hodnot. Cílem je stanovení vlastních čísel a vektorů z dolního okraje spektra, jimiž jsou specifikovány horní bifurkační meze.
Velká posunutí, kontaktní úlohy a velké deformace. V posledních letech se věnuje této problematice značná pozornost. Je to nejen proto, že úroveň hardware dříve nedovolovala její širší praktické uplatnění, ale také pro celou řadu nejasností, které vyvstaly teprve v souvislosti s obecně pojatým řešením tohoto problému. Problematiku lze shrnout do čtyř tematických okruhů: kinematika přetvářejícího se tělesa (Lagrangeovský a Eulerovský popis), míry napětí, energeticky/výkonově konjugované míry přetvoření/ (rychlosti přetvoření) a napětí, metody pro vyhledávání oblastí ve vzájemném kontaktu, algoritmy pro implementování kontaktních podmínek. V rámci řešení těchto úloh je možné též stanovení dolních bifurkačních mezí. Aktivní podíl tvůrců PMD v této oblasti dokumentují práce uveřejněné v tuzemské i světové časopisecké literatuře.
Popis a modelování fyzikálních veličin
Fyzikální vlastnosti i rozložení těchto vlastností uvnitř oblasti řešení, jakož i zatěžovací a geometrické okrajové (případně i počáteční) podmínky se popisují prostřednictvím přiřazování fyzikálních veličin určitým lokalitám - (sub)doménám. Subdomény jsou množinami uzlových bodů, prvků, hran a stěn prvků. Možná jsou i přiřazení, vztahující se na všechny uzly nebo všechny prvky sítě. Přiřazení fyzikálních veličin je tedy závislé na výpočtové síti, zatímco jejich popis nikoliv. Fyzikální veličinou se v kontextu PMD obecně rozumí soubor (“vektor”) veličin příbuzné povahy (např. soubor materiálových veličin nebo složky intensit objemových či povrchových sil), pro něž se předpokládá společný popis jejich chování. V řadě případů degeneruje soubor veličin do vektoru o jediné složce (specifikace normálového tlaku, tepelného toku, tepelného zdroje atp.).Chování fyzikálních veličin lze zadat jako konstantní nebo jako proměnlivé - tj. závislé na globálních souřadnicích x, y, z, času t, teplotě T a event. dalších veličinách; v materiálově nelineárních úlohách mohou modely plasticity a creepu záviset na efektivní plastické nebo creepové deformaci, efektivním napětí, středním napětí, Lodeově parametru nebo měrné plastické práci. Proměnlivost lze modelovat dvěma způsoby: a) Polynomiálními závislostmi na jedné až čtyřech nezávisle proměnných. V rámci PMD jsou uvažovány úplné polynomy až do třetího stupně včetně; b) Závislost daná tabulkou, každá složka fyzikální veličiny může být funkcí jedné až čtyř nezávisle proměnných veličin.